求解三次方程 1.5708x³ − 0.01446x² + 1.35803e−5 x + 1.0159097e−12 = 0。

Step-by-step solution

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   动用求根工具之前，先从系数里读出量级。 系数每升一次幂大约就小两个数量级（$1.57$、$1.4\times10^{-2}$、$1.4\times10^{-5}$），这是根落在 $10^{-2}$ 到 $10^{-3}$ 附近的典型特征。而常数项又比它们小了七个数量级，所以必然有一个根远比另外两个小得多。

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   先做尺度变换，换成条件良好的三次方程。 代入 $x=t/1000$，相当于把 $t^k$ 的系数乘上 $1000^{3-k}$：

   $1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+1.0159097\times10^{-3}=0$

   现在所有系数都落在相差不过几个数量级的范围内，求根时因相减抵消而损失的精度就少得多。

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   靠符号变化定位两个较大的根。 取 $g(t)=1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+0.0010159097$：$g(1)=0.6921>0$，$g(1.5)=-6.8621<0$，$g(8)=-12.5470<0$，$g(9)=96.0769>0$。所以两个根分别落在 $(1,1.5)$ 和 $(8,9)$ 内；二分到机器精度得到 $t=1.06167$ 与 $t=8.14390$。

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   那个极小的根由常数项给出。 在 $t=0$ 附近三次项和二次项都可以忽略，于是 $13.5803t+0.0010159097\approx0$ 给出 $t\approx-7.4808\times10^{-5}$，再用牛顿迭代精化到 $t=-7.480165\times10^{-5}$。把三个根都除以 $1000$ 还原：

   $x=-7.480165\times10^{-8},\quad 0.00106167,\quad 0.00814390$

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   用韦达定理检验，而且要真算一遍而不是想当然。 根之和应当是 $0.01446/1.5708=0.0092055004$，三个根相加正好是 $0.0092055004$ ✓。根之积应当是 $-1.0159097\times10^{-12}/1.5708=-6.467467\times10^{-13}$，三根相乘正好是 $-6.467467\times10^{-13}$ ✓。网上流传很广的那组答案 $0.00100455$ 和 $0.00820134$ 通不过这个检验 —— 代回去残差在 $10^{-8}$ 量级，而不是 $10^{-13}$。