解方程 x/(x + 5) − 25/(x² + 25) = 0。

Step-by-step solution

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   先看定义域。 分母 $x^{2}+25$ 对任何实数 $x$ 都不为零，所以唯一的排除值来自第一个分数，即 $x=-5$。万一算出的候选根等于 $-5$，就必须舍去。

2. 2

   把一个分数移过去，再交叉相乘。 原方程说的就是这两个分数相等：

   $\frac{x}{x+5}=\frac{25}{x^{2}+25}\quad\Longrightarrow\quad x\left(x^{2}+25\right)=25(x+5)$

3. 3

   展开——留意中间两项相互抵消。

   $x^{3}+25x=25x+125\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=125$

   两边的 $25x$ 恰好抵消，这就把一个看着很棘手的三次方程变成了一次简单的开立方。

4. 4

   取实数立方根。

   $x=\sqrt[3]{125}=5$

   在实数范围内这是唯一的解；三次式 $x^{3}-125=(x-5)\left(x^{2}+5x+25\right)$ 里的二次因式判别式为 $25-100=-75<0$，所以另外两个根是复数。

5. 5

   对照原方程和定义域检验。 $x=5\neq -5$，所以它是允许的，而且

   $\frac{5}{10}-\frac{25}{50}=0.5-0.5=0\ \checkmark$

   $\boxed{x=5}$

6. 6

   小心一个常见的看错。 要是第二个分母写的是 $x^{2}-25$ 而不是 $x^{2}+25$，题目就完全变了——$x^{2}-25$ 能分解成 $(x+5)(x-5)$，会带来第二个排除值 $x=5$，那时这个根反而必须舍去。去分母之前，一定要先确认分母里的符号。