解方程 x³ = 9x² + 22x。

Step-by-step solution

1. 1

   把方程移成右边为零，不要两边除以 $x$。 两边同除以 $x$ 看着省事，却会不声不响地删掉根 $x=0$。把每一项都移到左边：

   $x^3-9x^2-22x=0$

2. 2

   提出公因式 $x$。 每一项都至少含一个 $x$：

   $x\left(x^2-9x-22\right)=0$

   这样才把 $x=0$ 作为一个真实的解保留下来，而不是丢掉它。

3. 3

   分解那个二次式。 积为 $-22$、和为 $-9$ 的两个数是 $-11$ 和 $+2$：

   $x^2-9x-22=(x-11)(x+2)\quad\Longrightarrow\quad x(x-11)(x+2)=0$

4. 4

   对每个因式用「乘积为零」的性质。

   $x=0,\qquad x=11,\qquad x=-2$

5. 5

   三个根都代回原方程检验。 当 $x=11$：$11^3=1331$，而 $9(121)+22(11)=1089+242=1331$ $\checkmark$。当 $x=-2$：左边 $-8$，右边 $9(4)-44=36-44=-8$ $\checkmark$。当 $x=0$：$0=0$ $\checkmark$。三次方程最多只有三个根，所以这份名单已经齐全。