已知 x = √(10 − 2√5)/4 · c，且 a² + (φx)² = c²，其中 φ 是黄金比，用 c 表示 a。

Step-by-step solution

1. 1

   先把 $x$ 平方。 平方一下，外层根号立刻消失：

   $x^{2}=\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}$

2. 2

   用黄金比的定义性质算 $\varphi^{2}$。 因为 $\varphi$ 满足 $\varphi^{2}=\varphi+1$，

   $\varphi^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}$

   这条捷径省去了手算 $\left(\tfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2}$ 的麻烦。

3. 3

   相乘得到 $(\varphi x)^{2}$。

   $(\varphi x)^{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\cdot\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}=\frac{(3+\sqrt5)(10-2\sqrt5)}{32}c^{2}$

   把乘积展开：$30-6\sqrt5+10\sqrt5-2\cdot5=20+4\sqrt5$，所以

   $(\varphi x)^{2}=\frac{20+4\sqrt5}{32}c^{2}=\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}$

4. 4

   解出 $a^{2}$。 由 $a^{2}=c^{2}-(\varphi x)^{2}$：

   $a^{2}=c^{2}-\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{8-5-\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{3-\sqrt5}{8}c^{2}$

   数值验证误差在 $10^{-14}$ 以内 ✓。注意 $3-\sqrt5\approx0.7639>0$，所以实数 $a$ 确实存在。

5. 5

   给根式脱套。 两边开方得 $a=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt5}}{2\sqrt2}c=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt5}}{4}c$。现在去找里面藏着的完全平方：

   $\left(\sqrt5-1\right)^{2}=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5\ \checkmark$

   所以 $\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1$（取正号，因为 $\sqrt5>1$），于是

   $a=\frac{\sqrt5-1}{4}c$

6. 6

   核对数值，并看看它是什么。 数值上 $a\approx0.309017c$，与 $\dfrac{\sqrt5-1}{4}=0.30901699\ldots$ 在 $10^{-14}$ 内吻合 ✓。这个数就是 $\tfrac{1}{2\varphi}$，因为 $\varphi^{-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$——正是黄金比的倒数，这也说明为什么这类长度会出现在正五边形的几何里。