从 x² − 4y + 1 = 0 中解出 y。

Step-by-step solution

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   先注意 $x^{2}-4y+1$ 本身只是一个代数式，不是方程。 没有等号就无所谓「解」，也没什么可化简的 —— $x^{2}$、$-4y$ 和 $1$ 这三项互不同类，合并不了。把它令为 $0$，才让它变成一个可解的关系式，而标准的要求就是把 $y$ 解出来。

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   把其余各项都搬到另一边，留下含 $y$ 的项。 两边减去 $x^{2}$ 和 $1$：

   $-4y=-x^{2}-1$

   眼下把 $-4y$ 整体保留（而不是先把负号拆出来），可以避免下一步出符号差错。

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   两边除以 $-4$。 除以负数会让右边每一项都变号：

   $y=\frac{-x^{2}-1}{-4}=\frac{x^{2}+1}{4}$

   等价地写成 $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$。两个符号只翻一个，结果就错了 —— 这也是把整个分式一次性相除的好理由。

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   代回去检验。 取 $y=\frac{x^{2}+1}{4}$，左边成为

   $x^{2}-4\cdot\frac{x^{2}+1}{4}+1=x^{2}-(x^{2}+1)+1=0\ \checkmark$

   它对每一个 $x$ 都成立，这也是必然的。数值上在 $x=-3$、$0$、$2.5$ 处残差都是机器精度下的 $0$ ✓。

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   读出几何意义。 $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$ 是一条开口向上的抛物线，顶点在 $\left(0,\tfrac14\right)$，相对于 $y=x^{2}$ 在水平方向上拉伸了 $2$ 倍。因为 $y$ 只以一次幂出现，原方程把 $y$ 定义成了 $x$ 的一个真正的函数 —— 反过来解 $x$ 会得到 $x=\pm\sqrt{4y-1}$，那就不是函数了。