把函数 F(x) = 2|x + 6| − 1 向下平移 7 个单位、向右平移 1 个单位，写出新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   先定位原来的顶点。 绝对值函数 $a|x-p|+q$ 的拐点在 $(p,q)$。把 $2|x+6|-1$ 改写成 $2|x-(-6)|+(-1)$，可见顶点在 $(-6,-1)$，纵向拉伸倍数为 $2$。盯住顶点是检验最终答案最快的办法。

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   做水平平移，注意方向。 图像向右移 $1$ 个单位，要把每一个 $x$ 都换成 $x-1$ —— 这一步最反直觉，因为括号里的符号看着是反的：

   $2\bigl|(x-1)+6\bigr|-1=2|x+5|-1.$

   顶点从 $(-6,-1)$ 移到 $(-5,-1)$，正好右移一个单位，说明代换的方向没搞反。

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   做竖直平移。 向下移 $7$ 个单位，就是整个函数减去 $7$ —— 这个动作发生在绝对值外面，方向和直觉一致：

   $2|x+5|-1-7=2|x+5|-8.$

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   用顶点确认。 拐点现在位于 $(-5,-8)$：相对 $(-6,-1)$ 恰好右移一个单位、下移七个单位，正是题目要求的。拉伸倍数 $2$ 没有变，因为平移从不改变图形的形状，两条射线的斜率仍是 $\pm2$。

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   抽查一个点。 原图像上 $F(-6)=2(0)-1=-1$。它在像上的对应点应该是 $(-6+1,\,-1-7)=(-5,-8)$。代入答案验证：$2|-5+5|-8=-8$ ✓。再在 $x=-3$ 处查一次：答案给出 $2(2)-8=-4$，而它的原像点是 $x=-4$，$F(-4)=2(2)-1=3$，$3-7=-4$ ✓。