解不等式 (x - 1)(x + 2)(x - 3) < 0，并把解集写成区间形式。

Step-by-step solution

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   不要把乘积展开。 这个不等式已经是因式分解好的形式，而这恰恰是我们想要的样子。乘开后得到 $x^3-2x^2-5x+6$，反而看不出任何符号信息。若干因式的乘积是正是负，取决于其中有多少个因式为负，所以保留因式形式，一个因式一个因式地看。

2. 2

   求出每个因式的零点。 令每个因式等于零，得

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   只有在这些点处乘积才可能变号，因为连续函数要从负变到正，必须经过 $0$。

3. 3

   在 $-2$、$1$、$3$ 处把数轴分段。 三个零点把实数轴切成四个开区间：

   $(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty)$

   在每个区间内部乘积的符号保持不变，所以取一个测试点就能判定整个区间。

4. 4

   每个区间取一个点检验。 记录每个因式的符号，而不是具体数值：

   区间	测试点 $x$	$x+2$	$x-1$	$x-3$	乘积
   $(-\infty,-2)$	$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$
   $(-2,1)$	$0$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$	$2$	$+$	$+$	$-$	$-$
   $(3,+\infty)$	$4$	$+$	$+$	$+$	$+$

   三个负数相乘得负，两个负数相乘得正：规则就这么简单。

5. 5

   注意符号的交替规律。 因为每个因式都是一次的（每个根都是单根），所以每经过一个零点符号就翻转一次。从最右边（那里所有因式都为正）出发向左走，符号依次是 $+,-,+,-$。只要知道最右端区间的符号，其余的不用检验也能填出来——上面那张表只是一次复核。

6. 6

   收集乘积为负的区间，并排除端点。 乘积在 $(-\infty,-2)$ 和 $(1,3)$ 上为负。不等号是严格的，所以 $x=-2$、$x=1$、$x=3$（在这些点乘积等于 $0$，而不是小于 $0$）都要舍去：

   $\boxed{(-\infty,-2)\cup(1,3)}$

   随手验算：$x=-3$ 时 $(-4)(-1)(-6)=-24<0$，$x=2$ 时 $(1)(4)(-1)=-4<0$，而 $x=0$ 时 $(-1)(2)(-3)=6>0$，与预测一致。