解不等式 (x − 1) / ((x − 3)(x − 2)) ≤ 0，并用区间表示解集。

Step-by-step solution

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   要找的是临界点，不是公分母。 这个式子本来就是一个已分解好的分式，所以符号只可能在某个因式为零处改变：分子零点 $x = 1$，分母零点 $x = 2$ 和 $x = 3$。千万不要两边同乘 $(x-3)(x-2)$ —— 它的符号未知，不等号方向就靠不住了。

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   把数轴分成四段。 三个临界点把 $\mathbb{R}$ 切成 $(-\infty,1)$、$(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,\infty)$。在每一段内部三个因式的符号都固定，整个分式的符号也就固定 —— 每段取一个试验值就够了。

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   每段取一点代入。

   区间	取点 $x$	值	符号
   $(-\infty,1)$	$0$	$\tfrac{-1}{(-3)(-2)} = -\tfrac16$	负
   $(1,2)$	$1.5$	$\tfrac{0.5}{(-1.5)(-0.5)} = +\tfrac23$	正
   $(2,3)$	$2.5$	$\tfrac{1.5}{(-0.5)(0.5)} = -6$	负
   $(3,\infty)$	$3.5$	$\tfrac{2.5}{(0.5)(1.5)} = +\tfrac{10}{3}$	正

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   每个端点单独判断。 不等号是 $\le$，所以分子的零点是允许的：在 $x = 1$ 处值为 $0$，满足 $\le 0$，因此 $x=1$ 要包含。而分母的零点永远不允许 —— 在 $x = 2$ 和 $x = 3$ 处表达式无意义，所以无论不等号朝哪个方向，这两个点都必须排除。

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   拼出解集。 把符号为负的区间收集起来，再补上那个闭端点：

   $(-\infty,\,1] \;\cup\; (2,\,3)$

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   对照常见干扰选项检查。 符号计算工具给出的正是 $(-\infty,1] \cup (2,3)$ ✓。而 $[1,2) \cup [3,\infty)$ 取的是符号为正的区间，还错误地把一个极点取成了闭端点；$[1,2] \cup (3,\infty)$ 把 $x=2$ 取成闭端点，可表达式在那里根本不存在。