解连不等式 −1 < x² − x − 1 < 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先拆成两个独立的不等式。 中间是非线性的连不等式，不能靠三边同加一个常数然后直接读出区间——因为中间那一项不是单调的。它必须变成用「且」连接的两个条件：

   $x^2 - x - 1 > -1 \quad \text{且} \quad x^2 - x - 1 < 1$

2. 2

   解左边那个不等式。 两边加 $1$：$x^2 - x > 0$，即 $x(x-1) > 0$。两个一次因式之积在两根之外为正，所以

   $x < 0 \quad \text{或} \quad x > 1$

3. 3

   解右边那个不等式。 两边减 $1$：$x^2 - x - 2 < 0$，即 $(x-2)(x+1) < 0$。乘积在两根严格之间为负，所以

   $-1 < x < 2$

4. 4

   把两个解集取交集。 把 $\left((-\infty,0) \cup (1,\infty)\right)$ 和 $(-1,2)$ 叠起来，$(-1,2)$ 之外的部分全被去掉，中间的闭区间 $[0,1]$ 也被挖走：

   $(-1,\,0) \cup (1,\,2)$

   之所以中间有这个缺口，是因为在 $[0,1]$ 上抛物线在 $x = 0.5$ 处下探到最小值 $-1.25$，突破了下界。

5. 5

   取几个点验算。 取 $x = -0.5$：$0.25 + 0.5 - 1 = -0.25$，落在 $(-1,1)$ 内。取 $x = 0.5$：$-1.25$，落在外面。取 $x = 1.5$：$2.25 - 1.5 - 1 = -0.25$，落在内。取 $x = 2$：$4 - 2 - 1 = 1$，不满足严格的上界，所以把这个端点排除是对的。