解不等式 9x² + 48x − 576 ≥ 0。

Step-by-step solution

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   先提出公因数。 三个系数都能被 $3$ 整除：

   $9x^2+48x-576=3\left(3x^2+16x-192\right)$

   由于 $3>0$，不等式两边同除以它不会改变任何东西：

   $3x^2+16x-192\ge0$

2. 2

   试着分解，结果发现分不了。 要分解就得找到两个整数，乘积为 $3\times(-192)=-576$、和为 $16$。把 $576$ 的因数对逐一走一遍——$(1,576),(2,288),(3,192),(4,144),(6,96),(8,72),(9,64),(12,48),(16,36),(18,32),(24,24)$——能凑出的带符号和是 $\pm575,\pm286,\pm189,\pm140,\pm90,\pm64,\pm55,\pm36,\pm20,\pm14,0$。没有一个等于 $16$，所以这个三项式在整数范围内不可约。常被引用的那个分解 $(x-6)(3x+32)$ 展开后是 $3x^2+14x-192$，而不是 $3x^2+16x-192$——中间项就错了；实际上 $9(6)^2+48(6)-576=36\neq0$，所以 $x=6$ 压根不是根。

3. 3

   改用求根公式。 对 $3x^2+16x-192=0$：

   $\Delta=16^2-4(3)(-192)=256+2304=2560$

   $x=\frac{-16\pm\sqrt{2560}}{6}$

4. 4

   化简根式。 $2560=256\times10$，而 $\sqrt{256}=16$，所以 $\sqrt{2560}=16\sqrt{10}$：

   $x=\frac{-16\pm16\sqrt{10}}{6}=\frac{-8\pm8\sqrt{10}}{3}$

   取 $\sqrt{10}=3.16228$，数值上就是：

   $x_1=\frac{-8+25.2982}{3}=5.76607,\qquad x_2=\frac{-8-25.2982}{3}=-11.09941$

5. 5

   根据抛物线的开口方向挑区间。 首项系数 $9$（约简后是 $3$）为正，所以抛物线开口向上，只在两根之外才 $\ge0$：

   $x\le\frac{-8-8\sqrt{10}}{3}\qquad\text{或}\qquad x\ge\frac{-8+8\sqrt{10}}{3}$

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   把端点算进来并验证。 不等式是非严格的，所以两个根本身——表达式恰好等于 $0$ 的地方——也属于解集。验算：两个根代入 $9x^2+48x-576$ 都在 $10^{-9}$ 的精度内等于 $0$ ✓；在 $-30$ 到 $30$ 之间扫 $6001$ 个点，每一点都与这个解集吻合 ✓。写成区间形式就是 $\left(-\infty,\tfrac{-8-8\sqrt{10}}{3}\right]\cup\left[\tfrac{-8+8\sqrt{10}}{3},\infty\right)$。