解不等式 x² − 2x + 1 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   别急着套公式，先看出这是完全平方式。 套 $a^2-2ab+b^2$ 的形式，取 $a=x$、$b=1$，得

   $x^2-2x+1=(x-1)^2$

   判别式也印证了这一点：$\Delta=4-4=0$，这正是重根的标志。

2. 2

   把不等式改写一下。

   $(x-1)^2>0$

3. 3

   利用「平方永不为负」这一事实。 $(x-1)^2\ge 0$ 恒成立，而取等号恰好发生在 $x-1=0$ 时。所以除了这一个值，严格不等式处处成立：

   $x\neq 1$

4. 4

   把答案写成两个区间的并集。

   $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$

   验 $x=1$：$1-2+1=0$，不满足 $>0$ $\checkmark$。验 $x=0$：$1>0$ $\checkmark$。验 $x=1.01$：$0.0001>0$ $\checkmark$。另外留意换个不等号答案会怎么变：$\ge 0$ 给出全体实数，$<0$ 给出空集，而 $\le 0$ 只给出 $\{1\}$。