化简 9 乘 (m + n) 的平方，减去 (m − n) 的平方。

Step-by-step solution

1. 1

   看出两项都是完全平方。 因为 $9=3^2$，

   $9(m+n)^2=\bigl[3(m+n)\bigr]^2=(3m+3n)^2$

   所以整个式子是 $A^2-B^2$，其中 $A=3m+3n$、$B=m-n$。先认出这一点，就不用把两个平方都展开再重新分解。

2. 2

   用 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$。

   $(3m+3n-(m-n))\bigl(3m+3n+(m-n)\bigr)=(2m+4n)(4m+2n)$

   第一个括号把 $B$ 的两个符号都翻转：$3n-(-n)=4n$。

3. 3

   从每个括号里提出数字因数。

   $(2m+4n)(4m+2n)=2(m+2n)\cdot 2(2m+n)=4(m+2n)(2m+n)$

4. 4

   把原式展开来交叉核对。

   $9\left(m^2+2mn+n^2\right)-\left(m^2-2mn+n^2\right)=9m^2+18mn+9n^2-m^2+2mn-n^2$

   合并后得到 $8m^2+20mn+8n^2$。注意中间项是相加的（$18mn+2mn$），因为那个减号把 $-2mn$ 翻成了正的。

5. 5

   确认两种形式一致。

   $4(m+2n)(2m+n)=4\left(2m^2+5mn+2n^2\right)=8m^2+20mn+8n^2$ ✓

6. 6

   数值检验。 取 $m=2$、$n=1$：原式是 $9(9)-1=80$；展开式给出 $32+40+8=80$；分解形式给出 $4(4)(5)=80$。三者一致。