对 f(x) = 7/(3x - 1)，求差商 (f(x+h) - f(x))/h 并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   写出 f(x + h)。 只需把代入做在分母上：

   $f(x+h) = \frac{7}{3(x+h)-1} = \frac{7}{3x+3h-1}$

2. 2

   把繁分数的形式列出来。

   $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{7}{3x+3h-1} - \frac{7}{3x-1}\right)$

   关键在于先把括号里的差通分，再去除以 $h$；否则什么都约不掉。

3. 3

   通分合并。

   $\frac{7(3x-1) - 7(3x+3h-1)}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

   分子展开为 $21x - 7 - 21x - 21h + 7 = -21h$ —— 除了 $-21h$ 之外每一项都消掉了，这正是这一步操作的全部意义。

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   除以 h 并约分。

   $\frac{-21h}{h\,(3x+3h-1)(3x-1)} = \frac{-21}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

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   验证并取极限。 取 $x = 1.3$、$h = 0.07$：直接算差商得 $-2.3284178$，公式给出 $\tfrac{-21}{(3.11)(2.9)} = -2.3284178$。当 $h \to 0$ 时该式趋于 $\tfrac{-21}{(3x-1)^2}$，这确实就是 $\tfrac{d}{dx}\tfrac{7}{3x-1}$。