解不等式 (2x − 1)(x + 1)/(x² + x + 2) ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先审视分母。 对 $x^{2}+x+2$，判别式是

   $\Delta=1^{2}-4(1)(2)=1-8=-7<0,$

   而首项系数为正，所以这条抛物线永远不与横轴相交：

   $x^{2}+x+2>0\quad\text{对每个实数 }x\text{ 都成立。}$

   单凭这一个事实，大部分活就干完了——没有需要排除的点，分数线下方也不会带来任何符号变化。

2. 2

   化归为多项式不等式。 两边同乘一个严格为正的量不会改变不等号，所以

   $\frac{(2x-1)(x+1)}{x^{2}+x+2}\le0\iff(2x-1)(x+1)\le0.$

   如果分母可能变号，这个等价就不成立了——这正是第 1 步必须放在最前面的原因。

3. 3

   找出临界点。 令每个因式为零：

   $2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac12,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1.$

   这两点都让分子为零而分母不为零，所以整个分式在那里等于 $0$——这满足 $\le0$，也就意味着两个端点都要算进解集。

4. 4

   读出二次式的符号。 乘积 $(2x-1)(x+1)$ 是一条开口向上的抛物线，所以它在两根之间为负、在两根之外为正。取点验证：$x=-2$ 时 $(-5)(-1)=5>0$；$x=0$ 时 $(-1)(1)=-1<0$；$x=1$ 时 $(1)(2)=2>0$。

5. 5

   写出解集。 把为负的区间和两个零点合起来：

   $x\in\left[-1,\ \tfrac12\right].$

   对原分式抽查：$x=-2$ 时是 $\tfrac{5}{4}>0$（不在解集）✓，$x=0$ 时是 $-\tfrac12<0$（在解集）✓，$x=\tfrac12$ 时是 $0$（在解集）✓，$x=1$ 时是 $\tfrac12>0$（不在解集）✓。