把 (a + x)^(m+1) (b + x)^(n-1) − (a + x)^m (b + x)^n 完全分解因式。

Step-by-step solution

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   看指数，别盯着字母。 两项都由同样的两个底数 $(a+x)$ 和 $(b+x)$ 搭成，区别只在指数：第一项带 $(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}$，第二项带 $(a+x)^{m}(b+x)^{n}$。两个乘积共用底数时，最大公因式对每个底数取较小的那个指数——这条规则就是本题的全部方法，而且即便 $m$ 与 $n$ 是未知的也照样管用。

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   每个底数取较小的指数。 对 $(a+x)$，两个指数是 $m+1$ 和 $m$，较小的是 $m$；对 $(b+x)$，是 $n-1$ 和 $n$，较小的是 $n-1$。于是

   $\text{最大公因式}=(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   注意这对任意整数 $m,n$ 都合法：我们从头到尾都不需要知道它们的具体值，只需知道每一对里哪个更小。

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   用 $x^p/x^q=x^{p-q}$ 把每一项除以公因式。

   $\frac{(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(a+x)^{1}=a+x$

   $\frac{(a+x)^{m}(b+x)^{n}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(b+x)^{1}=b+x$

   于是原式变成 $(a+x)^m(b+x)^{n-1}\left[(a+x)-(b+x)\right]$。

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   化简括号——整道题就在这里塌缩。 小心地把负号分配进去：

   $(a+x)-(b+x)=a+x-b-x=a-b$

   两个 $x$ 抵消了，所以括号里根本不是关于 $x$ 的二项式，而是一个常数差 $a-b$。忘记把负号分配到 $+x$ 上是最常见的错误，那样会留下一个错误的括号 $a-b+2x$。

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   写出分解结果并检验。 把各部分拼起来：

   $(a-b)(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   取 $a=2,b=1,x=1,m=2,n=3$ 快速验算：原式为 $3^{3}\cdot 2^{2}-3^{2}\cdot 2^{3}=108-72=36$，分解式给出 $(2-1)\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}=36$。两者一致，分解正确。