求常数 k 的所有取值，使方程 x² − (2k − 1)x + 1 = 0 有一个根在区间 (0, 1) 内，另一个根在区间 (2, 3) 内。

Step-by-step solution

1. 1

   把根的位置翻译成符号条件，而不是去讨论判别式。 令 $f(x)=x^2-(2k-1)x+1$。抛物线开口向上，所以它恰好在两根之间取负值。要求一个根严格落在 $(0,1)$ 内、另一个严格落在 $(2,3)$ 内，等价于下面四个符号条件

   $f(0)>0,\qquad f(1)<0,\qquad f(2)<0,\qquad f(3)>0.$

   每一次严格的变号，都会在相邻两个测试点之间逼出一个根；而 $+,-,-,+$ 这样的符号排列，恰好把一个根锁在 $(0,1)$、另一个锁在 $(2,3)$。判别式条件是白送的——只要有变号，实根就一定存在。

2. 2

   在四个测试点上把 $f$ 的值算出来。

   $f(0)=1$

   $f(1)=1-(2k-1)+1=3-2k$

   $f(2)=4-2(2k-1)+1=7-4k$

   $f(3)=9-3(2k-1)+1=13-6k$

3. 3

   逐条施加这些条件。

   $f(0)=1>0\quad\text{——对一切 }k.$

   $f(1)=3-2k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac32$

   $f(2)=7-4k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac74$

   $f(3)=13-6k>0\;\Longrightarrow\;k<\frac{13}{6}$

4. 4

   把这些约束取交集。 因为 $\tfrac74>\tfrac32$，来自 $f(1)$ 的条件被 $f(2)$ 的条件吸收掉了，最后剩下

   $\frac74<k<\frac{13}{6}.$

5. 5

   再用两根之积做一次独立验证。 由韦达定理，两根之积为 $1$，所以两根互为倒数：$r$ 与 $1/r$。若 $r\in(2,3)$，则自动有 $1/r\in\left(\tfrac13,\tfrac12\right)\subset(0,1)$——关于小根的那个条件并没有带来额外信息，这与前面的代数结论完全吻合。再由两根之和

   $r+\frac1r=2k-1\;\Longrightarrow\;k=\frac12\left(r+\frac1r+1\right),$

   而 $r+\tfrac1r$ 在 $r>1$ 时递增，所以当 $r$ 跑遍 $(2,3)$ 时，$k$ 跑遍 $\left(\tfrac12\left(\tfrac52+1\right),\tfrac12\left(\tfrac{10}{3}+1\right)\right)=\left(\tfrac74,\tfrac{13}{6}\right)$——正是同一个区间。

6. 6

   在范围内外各抽查一个值。 取 $k=2$：$x^2-3x+1=0$ 的两根是 $0.382$ 和 $2.618$——正好一个区间一个，符合要求。再取 $k=2.2$（略大于 $13/6\approx2.1667$）：两根是 $0.325$ 和 $3.075$，大根已经跑到 $3$ 的外面去了，这就验证了右端点的正确性。