2x² − 4x + 1 能因式分解吗？如果能，请把它分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先问对问题：在哪个数集里分解？ 在整数范围内，二次式 $ax^2+bx+c$ 只有当判别式是完全平方数时才能分解；在实数范围内，只要判别式非负就能分解。所以在瞎猜因数对之前，先把 $\Delta$ 算出来。

2. 2

   算判别式。 取 $a=2$、$b=-4$、$c=1$： $\Delta = b^2-4ac = 16-8 = 8.$ 因为 $8>0$，方程有两个不同的实根，所以实数范围内的分解式存在——但 $8$ 不是完全平方数，因此整数或有理数范围内的分解式并不存在。去试 $(2x\pm1)(x\pm1)$ 之类的组合注定失败。

3. 3

   用求根公式求根。 $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2},$ 即 $x \approx 1.7071$ 和 $x \approx 0.2929$。

4. 4

   写出按根给出的分解式。 由于二次项系数是 $2$，它必须提到前面： $2x^2-4x+1 = 2\left(x-\frac{2+\sqrt2}{2}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt2}{2}\right).$

5. 5

   用配方法得到更整洁的形式。 $2x^2-4x+1 = 2(x^2-2x)+1 = 2\big[(x-1)^2-1\big]+1 = 2(x-1)^2-1$。这已经是一个平方差 $\big(\sqrt2(x-1)\big)^2-1^2$，于是 $2x^2-4x+1 = \left(\sqrt2(x-1)-1\right)\left(\sqrt2(x-1)+1\right).$

6. 6

   乘开来检验。 $\left(\sqrt2(x-1)\right)^2-1 = 2(x-1)^2-1 = 2x^2-4x+2-1 = 2x^2-4x+1$，正确。两个因式也可以等价地写成 $(\sqrt2 x-\sqrt2-1)(\sqrt2 x-\sqrt2+1)$。