解四次方程 8x⁴ − 6x³ + 30x² − 18x + 18 = 0。

Step-by-step solution

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   先约掉公共的数字因数。 每个系数都是偶数：

   $8x^{4}-6x^{3}+30x^{2}-18x+18=2\left(4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9\right)$

   因为 $2\neq 0$，原方程与 $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=0$ 同解。系数变小后，下一步会轻松很多。

2. 2

   确认没有有理根。 候选根形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 9$，$q\mid 4$。各项系数的正负交替方式使得任何正候选代入都得正值，任何负候选代入也得正值，所以在有理数范围内没有一次因式。接下来只能指望能分解成两个二次式。

3. 3

   用待定系数法设式。 试设

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}+bx+3\right)\left(x^{2}+ex+3\right)$

   常数项之所以都取 $3$，是因为它们的乘积必须等于 $9$。展开得

   $4x^{4}+(4e+b)x^{3}+(be+15)x^{2}+3(b+e)x+9$

4. 4

   比较系数，解这个小方程组。 与目标式对照：

   $4e+b=-3,\qquad be+15=15,\qquad 3(b+e)=-9$

   中间那个式子强制 $be=0$，所以 $b=0$ 或 $e=0$。取 $e=0$ 时第三式给出 $b=-3$，代回第一式也对得上：$4(0)+(-3)=-3$ ✓。于是

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}-3x+3\right)\left(x^{2}+3\right)$

5. 5

   解第一个二次方程。 对 $4x^{2}-3x+3=0$，判别式为

   $(-3)^{2}-4(4)(3)=9-48=-39<0$

   所以

   $x=\frac{3\pm i\sqrt{39}}{8}$

6. 6

   解第二个二次方程并作结论。 由 $x^{2}+3=0$ 得 $x=\pm i\sqrt3$。四个根全是非实数，所以这个四次方程没有实数解——这与图像一致：曲线始终在 $x$ 轴上方（最小值是正的）。把两个因式乘回去再乘以 $2$，恰好还原出 $8x^4-6x^3+30x^2-18x+18$ ✓。