解方程 √(3x − 8) − √(2x − 3) + √(x − 1) = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定义域求出来，别的都往后放。 三个根号里的式子都必须非负：$3x \ge 8$、$2x \ge 3$、$x \ge 1$。起决定作用的是 $x \ge \tfrac{8}{3} \approx 2.6667$，所以凡是比它小的结果都自动作废。

2. 2

   重新分组，让两边都非负。 按原样左边正负号混在一起，直接平方会很乱。把带负号的项移到右边：

   $\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3}$

   现在两边都是算术根之和，因此都 $\ge 0$，平方就不会引入符号错误。

3. 3

   平方第一次。 用 $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$：

   $(3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1) = 2x-3$

   $4x - 9 + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; \sqrt{(3x-8)(x-1)} = 3 - x$

4. 4

   记下新出现的符号条件，然后再平方一次。 左边 $\ge 0$，所以必须有 $3 - x \ge 0$，即 $x \le 3$。和定义域合起来，解只能落在 $\left[\tfrac{8}{3},\,3\right]$ 里——这是个很窄的窗口。平方后：

   $3x^2 - 11x + 8 = x^2 - 6x + 9 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 5x - 1 = 0$

5. 5

   求解并筛选。 用求根公式：

   $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

   也就是 $x \approx 2.6861$ 或 $x \approx -0.1861$。负值远在定义域之外（它让根号里的式子变负），所以只有 $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ 可能成立——注意它在 $[2.6667,\,3]$ 里卡得有多紧。

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   回原方程验算。 取 $x = 2.6861407$：$\sqrt{3x-8} = \sqrt{0.058422} = 0.241706$，$\sqrt{2x-3} = \sqrt{2.372281} = 1.540221$，$\sqrt{x-1} = \sqrt{1.686141} = 1.298515$。于是 $0.241706 - 1.540221 + 1.298515 = 0.000000$ ✓。符号运算下残差正好化为 $0$，所以 $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ 是唯一解。