化简分式 (x² + 3x − 10) / (x² − 4)，并写出 x 需要排除的取值。

Step-by-step solution

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   用「和与积」凑一对数来分解分子。 对 $x^2 + 3x - 10$，要找两个数，乘积为 $-10$、和为 $3$：就是 $5$ 和 $-2$。

   $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$

2. 2

   分母用平方差分解。 $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$，所以

   $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

   先认出 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 这个形式很值得——比去凑因数对快得多。

3. 3

   约分之前先记下限制条件。 分母为零的地方原式没有定义，所以 $x \neq 2$ 且 $x \neq -2$。这一步必须现在写下来，因为下一步就会把 $x = 2$ 的证据抹掉。

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   约掉公因式。 分子分母都带着 $(x-2)$：

   $\frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+5}{x+2}$

   被约掉的 $(x-2)$ 在图像上 $x = 2$ 处留下一个可去的空洞——化简后的式子在那里有值 $\tfrac{7}{4}$，而原式没有。

5. 5

   代一个值验算。 取 $x = 3$，原式为 $\tfrac{9+9-10}{9-4} = \tfrac{8}{5} = 1.6$，化简后的式子给出 $\tfrac{3+5}{3+2} = \tfrac{8}{5} = 1.6$。除了被排除的那两个点，两者处处相等。