解不等式 1 + 11/(2 的 x 次幂减 8) + 28/(4 的 x 次幂减 2 的 (x+4) 次幂加 64) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   令 t = 2ˣ，把每个指数式都用 t 表示。 因为对一切实数 $x$ 都有 $2^x > 0$，所以取 $t = 2^x$，且 $t > 0$。于是

   $4^x = (2^x)^2 = t^2, \qquad 2^{x+4} = 2^4 \cdot 2^x = 16t$

   关键一步是 $2^{x+4} = 16t$，不是 $t + 16$ —— 指数相加对应的是底数的幂相乘。

2. 2

   认出第二个分母是完全平方。

   $4^x - 2^{x+4} + 64 = t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2$

   现在两个分母都只跟同一个量 $t - 8$ 有关，整道题正是因此才塌缩下来。记 $u = t - 8$，不等式就成了

   $1 + \frac{11}{u} + \frac{28}{u^2} \ge 0, \qquad u \ne 0$

3. 3

   两边同乘 u² —— 因为它是正的，所以这样做是合法的。 由 $u \ne 0$ 知 $u^2 > 0$，乘上去不会改变不等号方向：

   $u^2 + 11u + 28 \ge 0 \ \Longleftrightarrow \ (u + 4)(u + 7) \ge 0$

   这就是把分母写成一个平方及其平方根的好处：完全不必对那些分式列符号表。

4. 4

   解关于 u 的二次不等式。 开口向上的抛物线在两根 $u = -7$ 与 $u = -4$ 之外非负：

   $u \le -7 \quad \text{或} \quad u \ge -4, \qquad u \ne 0$

5. 5

   沿 u = t − 8 与 t = 2ˣ 换回来。 由 $u \le -7$：

   $t \le 1 \ \Rightarrow \ 2^x \le 2^0 \ \Rightarrow \ x \le 0$

   由 $u \ge -4$：

   $t \ge 4 \ \Rightarrow \ 2^x \ge 2^2 \ \Rightarrow \ x \ge 2$

   两处都用到 $2^x$ 单调递增，所以不等号方向保持不变。而条件 $t > 0$ 自动成立，不带来任何额外限制。

6. 6

   去掉排除点，写出答案。 限制 $u \ne 0$ 意味着 $t \ne 8$，即 $x \ne 3$ —— 在那里原式的两个分母同时为零。所以

   $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$

   取几个点数值抽查也能确认：$x = -1$ 时左边为 $+0.0311$，$x = 0$ 时恰为 $0$，$x = 1$ 时为 $-0.0556$，$x = 2$ 时恰为 $0$，$x = 4$ 时为 $+2.8125$。