把 2x³ − x² − 5x − 2 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先试分组分解，看它是怎么失败的。 两两配对得到 $\left(2x^3-x^2\right)+(-5x-2)=x^2(2x-1)-(5x+2)$。两个括号 $(2x-1)$ 和 $(5x+2)$ 并不相同，所以这里用不了分组分解——这正是提示我们改用有理根定理的信号。

2. 2

   列出可能的有理根。 有理根 $\tfrac{p}{q}$ 必须满足 $p\mid2$（常数项）且 $q\mid2$（首项系数），所以候选是

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$

   之所以会冒出分数候选，正是因为首项系数是 $2$ 而不是 $1$——这一步常被漏掉。

3. 3

   逐个试这些候选。

   $f(2)=2(8)-4-10-2=16-16=0\ \checkmark$

   所以 $x=2$ 是一个根，$(x-2)$ 是一个因式。

4. 4

   用综合除法除以 (x − 2)。 把根 $2$ 作用在系数 $2,\ -1,\ -5,\ -2$ 上：

   $2\ \to\ -1+4=3\ \to\ -5+6=1\ \to\ -2+2=0$

   余数为零 ✓，商是 $2x^2+3x+1$：

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)\left(2x^2+3x+1\right)$

5. 5

   用拆中项法分解这个二次式。 需要两个数，乘积是 $2\times1=2$，和是 $3$：它们是 $1$ 和 $2$。把中项拆开再分组：

   $2x^2+2x+x+1=2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1)$

6. 6

   写出完整的因式分解和三个根。

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)(2x+1)(x+1)$

   三个根是 $x=2$、$x=-\tfrac12$ 和 $x=-1$——注意 $-\tfrac12$ 恰好是那批分数候选之一，这就是当初必须把它们列进候选表的理由。

7. 7

   验证。 把原式和这三个因式的乘积在 $-30$ 到 $29$ 的每一个整数上比较，结果完全一致 ✓。韦达定理也对得上：三根之和 $2-\tfrac12-1=\tfrac12=-b/a$ ✓，三根之积 $2\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-1)=1=-d/a$ ✓。