求 x：把 (1 + x) 的 27 次到 36 次这十个幂加在一起，和等于 20。

Step-by-step solution

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   令 $y=1+x$，并提出最低次幂。 十个指数是连续的，于是

   $y^{27}\bigl(1+y+y^2+\cdots+y^{9}\bigr)=20$

   这一步是关键：不这么做，你面对的是一个 36 次多项式；这么做之后，面对的只是一个等比数列。

2. 2

   用等比数列求和公式把括号收起来。 当 $y\ne 1$ 时，

   $1+y+\cdots+y^{9}=\frac{y^{10}-1}{y-1}\quad\Longrightarrow\quad y^{27}\cdot\frac{y^{10}-1}{y-1}=20$

   有理根在这里一个都活不下来——$y=1$ 给出 $10$，$y=2$ 给出的值超过 $10^{10}$——所以只能用数值方法把根定位出来。

3. 3

   用变号把正根夹住。 记 $S(y)=y^{27}+\cdots+y^{36}$。那么 $S(1)=10<20$，而

   $S(1.05)=1.05^{27}\cdot\frac{1.05^{10}-1}{0.05}=46.959>20$

   所以有一个根落在 $(1,1.05)$ 里。二分到七位小数得 $y=1.0221841$，即 $x=0.0221841$，此时 $S(1.0221841)=19.99997$。

4. 4

   把符号规律写明白，找出第二个实根。 取 $y=-u$（其中 $u>0$），正负交替的各项恰好可以重新分组成

   $S(-u)=u^{27}(u-1)\bigl(1+u^2+u^4+u^6+u^8\bigr)$

   它在 $0<u<1$ 上为负，在 $u=1$ 处为零（与 $S(-1)=0$ 一致），在 $u>1$ 上严格递增，所以与 $20$ 恰好相交一次。二分得 $u=1.1184421$，此时上面这个因式形式的值是 $19.99998$；于是 $y=-1.1184421$，$x=-2.1184421$。

5. 5

   说明再没有别的实根。 在 $y>0$ 上每一项 $y^k$ 都单调递增，所以 $S$ 从 $0$ 严格升到 $\infty$，只穿过 $20$ 一次。在 $y<0$ 上，上面那个因式形式过了 $u=1$ 之后是单调的，而 $u\le 1$ 时又永远达不到 $20$。总共两个实根；这个 36 次多项式其余 $34$ 个根都是复根。

6. 6

   用 $x$ 写出答案。 把代换 $x=y-1$ 反解回去：

   $x\approx 0.0221841\qquad\text{或}\qquad x\approx -2.1184421$