把 (1/16)x⁶ + x³ + 4 彻底因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   看出藏在里面的二次式。 各项的指数是 $6,3,0$ —— 都是 $3$ 的倍数，而且 $x^6=(x^3)^2$。所以这个式子其实是关于 $x^3$ 这一整块的二次式：

   $\frac{1}{16}\left(x^3\right)^2+1\cdot x^3+4$

2. 2

   令 u = x³，并把分数系数提出去。 记 $u=x^3$，式子就是 $\tfrac{1}{16}u^2+u+4$。把 $\tfrac{1}{16}$ 提到括号外 —— 等价于把括号里各项都乘 $16$ —— 系数就全变成整数：

   $\frac{1}{16}\left(u^2+16u+64\right)$

   核对一下账：$16\times1=16$，$16\times4=64$ ✓。

3. 3

   认出这是一个完全平方。 对 $u^2+16u+64$，注意 $64=8^2$，而 $2\times8=16$ 正好是一次项系数，所以

   $u^2+16u+64=(u+8)^2$

   （也可以用判别式 $16^2-4\cdot64=0$ 来确认它有重根。）

4. 4

   把 u 换回来。

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}\left(x^3+8\right)^2$

5. 5

   用立方和公式继续往下分。 因为 $x^3+8=x^3+2^3$，由恒等式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 得 $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$，两边平方：

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}(x+2)^2\left(x^2-2x+4\right)^2$

   二次式 $x^2-2x+4$ 的判别式是 $4-16=-12<0$，在实数范围内不可约，所以分解到这里就完整了。

6. 6

   数值验证。 在 $[-4,4]$ 上随机取 $60$ 个 $x$，原式与两种分解形式的值全都在机器精度内一致 ✓。挑一个点看：$x=2$ 时，原式 $=\tfrac{64}{16}+8+4=16$，而 $\tfrac{1}{16}(8+8)^2=\tfrac{256}{16}=16$ ✓。