已知 3x + y = 1，求使 y/x + 1/y ≤ m 恒成立的最大 m 值。

Step-by-step solution

1. 1

   用约束条件化归为一元。 由 $3x + y = 1$ 得 $y = 1 - 3x$，于是表达式变成只含 $x$ 的函数：

   $f(x) = \frac{1-3x}{x} + \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{x} - 3 + \frac{1}{1-3x}$

   把 $\frac{1-3x}{x} = \frac1x - 3$ 这样改写，正是为了把两个各自独立的极点暴露出来。

2. 2

   记下定义域。 两个分母都不能为零：

   $x \ne 0 \quad \text{且} \quad y = 1 - 3x \ne 0 \ \Longrightarrow \ x \ne \tfrac13$

   所以定义域是 $\mathbb{R} \setminus \left\{0, \tfrac13\right\}$——而被排除的 $x = \tfrac13$ 恰恰就是麻烦所在。

3. 3

   考察 x = 1/3 这个极点附近的行为。 当 $x \to \tfrac13^-$ 时 $1 - 3x \to 0^+$，因此

   $\frac{1}{1-3x} \to +\infty, \qquad \text{而} \quad \frac1x - 3 \to 3 - 3 = 0$

   第一项爆掉，其余部分保持有界，所以 $f(x) \to +\infty$。

4. 4

   用具体数值确认。 让 $x$ 从左侧越来越靠近 $\tfrac13$：

   $x = 0.33 \Rightarrow f = 100.03, \qquad x = 0.333 \Rightarrow f = 1000.003, \qquad x = 0.33333 \Rightarrow f \approx 10^{5}$

   任何给定的目标值都会被超过，所以这个表达式没有上界。（当 $x \to 0^-$ 时情况不同：那里并不是 $\tfrac1x \to +\infty$，而是 $f \to -\infty$——不过只要有一个方向发散就够了。）

5. 5

   得出「不存在最大的 m」这个结论。 要让 $\frac{y}{x} + \frac1y \le m$ 对一切允许的 $x, y$ 都成立，就必须有 $m \ge \sup f = +\infty$。没有实数能满足这一点，所以：

   $\sup_{3x+y=1} \left(\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\right) = +\infty, \qquad \text{不存在最大的 } m$

   如果原题还附带 $x > 0,\ y > 0$ 这类符号限制，请注意 $x = \tfrac13^-$ 处的极点仍然落在那个区域里，所以表达式在那里同样无界，结论不变。