解方程 (3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0。

Step-by-step solution

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   第一个乘积用平方差公式展开。 $(3x-2)(3x+2)$ 正是 $(A-B)(A+B)$ 的形状：

   $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$

   交叉项 $+6x$ 与 $-6x$ 相消，所以这部分不会留下一次项。

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   展开第二个乘积。

   $9(x-1)x = 9(x^2 - x) = 9x^2 - 9x$

   $9$ 要分配给括号里的两项；只乘 $x^2$ 是常见的失手。

3. 3

   相减，看二次项如何消失。

   $9x^2 - 4 - (9x^2 - 9x) = 9x^2 - 4 - 9x^2 + 9x = 9x - 4$

   两个式子都带着同样的 $9x^2$，所以这个方程是一次的而不是二次的 —— 这也解释了它为什么只有一个解而不是两个。

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   解化简后的一元一次方程。

   $9x - 4 = 0 \ \Longrightarrow \ x = \frac{4}{9}$

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   检验这个根。 当 $x = \tfrac49$ 时：第一个乘积是 $\left(\tfrac{12}{9} - 2\right)\left(\tfrac{12}{9} + 2\right) = \left(-\tfrac23\right)\left(\tfrac{10}{3}\right) = -\tfrac{20}{9}$，第二个是 $9\left(\tfrac49 - 1\right)\tfrac49 = 9 \cdot \left(-\tfrac59\right)\cdot\tfrac49 = -\tfrac{20}{9}$。两者之差为 $0 \ \checkmark$。