解四次方程 x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0，实根精确到小数点后七位。

Step-by-step solution

1. 1

   先排除有理根。 由有理根定理，任何有理根都必须整除 $-18$，所以候选只有 $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$。逐个代入，取值都不为零 —— 例如

   $f(9) = 6561 - 7290 + 1458 - 360 - 18 = 351 \ne 0, \qquad f(-1) = 1 + 10 + 18 + 40 - 18 = 51 \ne 0$

   所以它在 $\mathbb{Q}$ 上没有一次因式。特别注意 $x = 9$ 不是根 —— 因为 $9 \mid 18$，很容易顺手把它当成根。

2. 2

   再排除拆成两个整系数二次式的可能。 设 $f(x) = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，则必有

   $a+c=-10, \quad ac+b+d=18, \quad ad+bc=-40, \quad bd=-18$

   把 $-18$ 的所有整数因数对 $(b,d)$ 以及所有整数 $a$ 全部扫一遍，找不到解。要当心 $b=9, d=-2$ 这个「差一点就成」的组合：它满足前两个方程，此时 $ac = 11$，$a,c = -5 \pm \sqrt{14}$，但接着 $ad+bc = -35 - 11\sqrt{14} \approx -76.2 \ne -40$。四个条件都要核对，不能只核对三个。

3. 3

   用符号表定位实根所在区间。 在若干点上算出 $f$ 的值：

   $f(-1) = 51, \quad f(0) = -18, \quad f(8) = -210, \quad f(9) = 351$

   符号在 $(-1, 0)$ 和 $(8, 9)$ 上各变一次，由介值定理，每个区间内都有一个实根。又因为 $f$ 在整个 $[0, 8]$ 上都是负的，所以实根恰好只有两个。

4. 4

   用牛顿法把根算精确。 由 $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 36x - 40$，从两个夹根区间的中点出发迭代 $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$：

   $x \approx 8.4610649, \qquad x \approx -0.3736462$

   在 40 位有效精度下它们满足 $|f(x)| < 10^{-36}$，所以上面写出的位数都是准确的。

5. 5

   交代剩下的两个根。 把这一对实根除掉，剩下的二次式判别式为负，给出一对共轭复根

   $x \approx 0.9562906 \pm 2.1861170\,i$

   于是在实数范围内的二次式分解是 $\left(x^2 - 8.0874187x - 3.1614449\right)\left(x^2 - 1.9125813x + 5.6935992\right)$，其中没有任何一个系数是有理数。

6. 6

   用韦达定理确认。 四个根之和必须是 $10$，之积必须是 $-18$：

   $8.4610649 - 0.3736462 + 2(0.9562906) = 9.9999999 \ \checkmark$

   $(8.4610649)(-0.3736462)\left(0.9562906^2 + 2.1861170^2\right) = -18.0000 \ \checkmark$

   两个恒等式都成立，这就在牛顿迭代之外独立地校验了数值结果。