解方程 √(2x + 1) = x − 1。

Step-by-step solution

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   平方之前，先把定义域钉死。 左边是算术平方根，所以它 $\ge 0$；那么右边也必须 $\ge 0$，于是 $x \ge 1$。被开方数只要求 $2x + 1 \ge 0$，即 $x \ge -\tfrac12$，这个条件更弱。真正起约束作用的是

   $x \ge 1$

   平方这一步不可逆，所以稍后能把真解和假解分开的，就只有这个条件。

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   两边平方。

   $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

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   移项后分解。

   $0 = x^2 - 4x = x(x-4) \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{或}\ x = 4$

   常数 $1$ 在两边抵消掉了，这也是二次式能分解得这么干净的原因。

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   把两个候选值拿回定义域和原方程去检验。 $x = 0$ 不满足 $x \ge 1$；就算硬代进去，左边是 $\sqrt{1} = 1$，右边是 $0 - 1 = -1$，所以它是增根——它只满足平方后的那个方程。再看 $x = 4$：$\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$，而 $4 - 1 = 3$，成立。

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   写出解。

   $x = 4$

   从几何上看，曲线 $y = \sqrt{2x+1}$ 与直线 $y = x - 1$ 恰好只交于一点 $(4,3)$；而 $x = 0$ 是直线与翻折出来的那一支 $y = -\sqrt{2x+1}$ 的交点，平方悄悄把这一支也卷了进来。