用多项式长除法计算 x³ − 4x + 5 除以 x² + 2，写出商和余式。

Step-by-step solution

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   把两个多项式的每一次幂都写全。 被除式没有 $x^2$ 项，除式没有 $x$ 项：

   $\text{被除式}=x^3+0x^2-4x+5,\qquad \text{除式}=x^2+0x+2$

   除式的次数是 $2$，所以综合除法用不上，长除法才是正确的工具。

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   用首项系数定出商的第一项。

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   把除式乘以 $x$：$x\left(x^2+2\right)=x^3+2x$。再从被除式中减去它：

   $\left(x^3+0x^2-4x+5\right)-\left(x^3+0x^2+2x\right)=-6x+5$

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   检查算法还能不能继续。 余下的 $-6x+5$ 是 $1$ 次，而除式是 $2$ 次。因为 $1<2$，再也提不出新的项，所以只做一步就停下：

   $\text{商}=x,\qquad \text{余式}=-6x+5$

   商只有一项在意料之中：两者次数正好相差一，所以商的次数是 $3-2=1$。

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   把答案写成两种标准形式。

   $\frac{x^3-4x+5}{x^2+2}=x+\frac{-6x+5}{x^2+2}$

   $x^3-4x+5=\left(x^2+2\right)x+(-6x+5)$

   第二种形式不含分式，用它来验证最方便。

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   验算，并看看余式说明了什么。 展开得 $\left(x^2+2\right)x=x^3+2x$，而 $x^3+2x-6x+5=x^3-4x+5\;\checkmark$。因为余式不为零，$x^2+2$ 不是它的因式——这与 $x^2+2$ 的根为 $x=\pm i\sqrt2$ 的事实一致：把 $x^2=-2$ 代入被除式得 $x\cdot(-2)-4x+5=-6x+5\ne 0$，恰好就是余式。