化简分子为 L² − R²、分母为 H + R 的分式。

Step-by-step solution

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   用平方差公式把分子分解。 因为 $L^2-R^2$ 就是取 $a=L$、$b=R$ 的 $a^2-b^2$，

   $L^2-R^2=(L-R)(L+R)$

   于是分式成为 $\dfrac{(L-R)(L+R)}{H+R}$。先分解永远是正确的第一步：约分只可能发生在因式之间，绝不可能发生在单个项之间。

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   把手上的因式和分母比一比。 分子提供了 $(L-R)$ 和 $(L+R)$；分母是 $(H+R)$。它们并不是同一个式子 —— $(L+R)$ 与 $(H+R)$ 在 $R$ 上一致，但打头的字母不同，而且没有任何法则允许拿 $L$ 去约掉 $H$。

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   写出化简后的形式。 既然没有公因式，做到这里就该停：

   $\frac{L^2-R^2}{H+R}=\frac{(L-R)(L+R)}{H+R}$

   这里说的「化简」，指的是分子已经完全因式分解；分式本身是约不下去的。

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   指出唯一的特殊情形。 如果题目额外告诉你 $H=L$，那么分母就变成 $L+R$，这时它确实能和一个因式对上：

   $\frac{(L-R)(L+R)}{L+R}=L-R\qquad (L+R\neq 0)$

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   用具体数字说明一般情况下为什么不能约。 取 $L=5$、$R=3$、$H=2$：分式是 $\frac{25-9}{2+3}=\frac{16}{5}=3.2$，而 $L-R=2$。两者不等，可见约掉就是错的。若改成 $H=L=5$：$\frac{16}{8}=2=L-R$ ✓，正如特殊情形所预言的那样。