用配方法解 −4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先从前两项中提出二次项系数。

   $-4.4912\left(x^2+\frac{0.5182}{4.4912}x\right)+30.066=-4.4912\left(x^2+0.115381x\right)+30.066$

   只有 $x^2$ 项和 $x$ 项进括号，常数留在外面，这样账才不会记乱。

2. 2

   在括号内配方。 一次项系数的一半是 $0.05769059$，它的平方是 $0.00332820$：

   $x^2+0.115381x=\left(x+0.05769059\right)^2-0.00332820$

3. 3

   把二次项系数乘回去。

   $-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+4.4912(0.00332820)+30.066=-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+30.08095$

   这就是顶点式：抛物线的最高点在 $\left(-0.05769,\,30.08095\right)$。因为最大值为正而抛物线开口向下，所以必然有两个实根。

4. 4

   由顶点式解出 $x$。

   $\left(x+0.05769059\right)^2=\frac{30.08095}{4.4912}=6.697753\;\Longrightarrow\;x+0.05769059=\pm 2.588002$

   $x=-0.05769059\pm 2.588002$

5. 5

   算出结果并检验。

   $x_1=-2.64569,\qquad x_2=2.53031$

   用韦达定理双向验证：两根之和应为 $-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-0.5182}{-4.4912}=-0.11538$，而 $-2.64569+2.53031=-0.11538\;\checkmark$；两根之积应为 $\tfrac{c}{a}=\tfrac{30.066}{-4.4912}=-6.69442$，而 $(-2.64569)(2.53031)=-6.69442\;\checkmark$。两根关于顶点横坐标 $-0.05769$ 对称，正如顶点式所预示的那样。