化简 (x² 的七次方根)/((1/2)y) 乘 (x² 的立方根)/(y² 的立方根) 乘 x/(y 的立方根) 乘 ((9/7) 乘 y/3 的平方根)/(5/x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每个根式都改写成分数指数。 用 $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$：$\sqrt[7]{x^2}=x^{2/7}$，$\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$，$\sqrt[3]{y^2}=y^{2/3}$，$\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$，以及 $\sqrt{\tfrac y3}=\tfrac{y^{1/2}}{\sqrt3}$。要把不同次数的根式合到一起，指数形式是唯一好用的办法。

2. 2

   把分式里的分数系数清掉。 除以 $\tfrac12 y$ 就是乘 $\tfrac{2}{y}$，除以 $\tfrac5x$ 就是乘 $\tfrac x5$：$\frac{2x^{2/7}}{y}\times\frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\times\frac{x}{y^{1/3}}\times\frac{9x}{35}\cdot\frac{y^{1/2}}{\sqrt3}.$ 注意第四个因子额外贡献了一个 $x$，这一点很容易漏掉。

3. 3

   把数字系数收拢。 $2\times\tfrac{9}{35} = \tfrac{18}{35}$，那个 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ 暂时留着：常数部分是 $\dfrac{18}{35\sqrt3}$。

4. 4

   把 x 的指数相加。 出现的幂有 $x^{2/7}$、$x^{2/3}$、$x^1$（第三个因子）和 $x^1$（来自第四个因子）：$\frac27+\frac23+1+1 = \frac{6}{21}+\frac{14}{21}+\frac{42}{21} = \frac{62}{21}.$

5. 5

   把 y 的指数相加。 分子提供 $y^{1/2}$；各分母合起来提供 $y^{1}\cdot y^{2/3}\cdot y^{1/3} = y^{2}$。于是 $y^{1/2-2} = y^{-3/2} = \frac{1}{y^{3/2}}.$

6. 6

   把常数有理化并约简。 $\dfrac{18}{35\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{105} = \dfrac{6\sqrt3}{35}$，所以 $\text{原式} = \frac{6\sqrt3\,x^{62/21}}{35\,y^{3/2}}.$

7. 7

   代数值检验。 取 $x=2$、$y=3$，原乘积算出来是 $0.44230024$，而 $\dfrac{6\sqrt3\cdot 2^{62/21}}{35\cdot 3^{3/2}} = 0.44230024$ —— 小数点后八位完全一致。