关系式 y(b − x) = ax 是非线性的。把它化成线性形式 Y = mX + c，并指出 Y、X、m 和 c 分别是什么。

Step-by-step solution

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   先诊断非线性到底出在哪。 这里没有任何指数——真正麻烦的是 $y(b-x)=by-xy$ 里藏着的乘积 $xy$。取对数只会让情况更糟。当两个变量互相相乘时，惯用的破解办法是取倒数。

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   两边同除以乘积 $xy$。 从 $y(b-x)=ax$ 出发，两边同除以 $xy$（在 $x\neq 0$、$y\neq 0$ 时有效）：

   $\frac{b-x}{x}=\frac{a}{y}$

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   把左边的分式拆开。

   $\frac{b}{x}-1=\frac{a}{y}$

   现在两个变量都只以 $1/x$ 与 $1/y$ 的形式出现——这就是变换奏效了的信号。

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   解出 $1/y$。 两边同除以 $a$：

   $\frac{1}{y}=\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{a}$

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   与 $Y=mX+c$ 对号入座。

   $\underbrace{\frac{1}{y}}_{Y}=\underbrace{\frac{b}{a}}_{m}\underbrace{\frac{1}{x}}_{X}+\underbrace{\left(-\frac{1}{a}\right)}_{c}$

   所以要以 $1/y$ 对 $1/x$ 作图。由截距可得 $a=-1/c$，再由斜率得 $b=ma$。

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   用数字验证一下。 取 $a=2,b=5,x=1$：原式给出 $y(5-1)=2$，所以 $y=0.5$，$1/y=2$。线性形式给出 $\tfrac{5}{2}(1)-\tfrac12=2$ ✓。注意截距是负的，这恰好告诉你 $a>0$。