解不等式 (1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) ≥ 720。

Step-by-step solution

1. 1

   看出重复的括号，把它提出来。 左边两项都含有 $(800-20x)$，所以把它提出来，别去展开两次：

   $\left(800-20x\right)\left[\left(1.5+0.1x\right)-0.9\right]=\left(800-20x\right)\left(0.6+0.1x\right).$

   回到原始情境，$(1.5+0.1x)-0.9$ 是单件利润，$(800-20x)$ 是销售件数。

2. 2

   把乘积展开。

   $\left(0.6+0.1x\right)\left(800-20x\right)=480-12x+80x-2x^{2}=-2x^{2}+68x+480.$

3. 3

   把所有项移到一边。

   $-2x^{2}+68x+480\ge 720\ \Longrightarrow\ -2x^{2}+68x-240\ge 0.$

4. 4

   两边除以 -2，同时把不等号反向。 不等式除以负数时方向要翻转——这一步是这里最常被忘掉的：

   $x^{2}-34x+120\le 0.$

5. 5

   求出两根，读出解区间。

   $x=\frac{34\pm\sqrt{1156-480}}{2}=\frac{34\pm\sqrt{676}}{2}=\frac{34\pm 26}{2}=4\ \text{或}\ 30.$

   开口向上的抛物线在两根之间才 $\le 0$，所以

   $4\le x\le 30.$

6. 6

   抽查两个端点和一个内点。 当 $x=4$：$(1.9)(720)-0.9(720)=(1.0)(720)=720$，恰好等于临界值 ✓。当 $x=17$（顶点处）：$(3.2)(460)-0.9(460)=(2.3)(460)=1058\ge 720$ ✓。当 $x=31$：$(4.6)(180)-0.9(180)=(3.7)(180)=666<720$，正确地落在解集之外。