解不等式 x² − 3x − 10 ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把左边因式分解。 乘积为 $-10$、和为 $-3$ 的两个数是 $-5$ 和 $2$：

   $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\le 0$

2. 2

   找出两个根。 乘积在 $x=5$ 和 $x=-2$ 处为零。因为不等号不是严格的，这两个值属于解集。

3. 3

   判断哪一段区域让乘积为负。 二次项系数是 $+1$，抛物线开口向上：它只在两根之间位于横轴下方。等价地说，当 $-2<x<5$ 时因式 $(x+2)$ 为正而 $(x-5)$ 为负，乘积就是负的。

4. 4

   写成闭区间。

   $-2\le x\le 5,\qquad\text{即 }[-2,\,5]$

5. 5

   三段区域连同端点一起代值检验。 取 $x=0$：$-10\le 0$ $\checkmark$。取 $x=6$：$36-18-10=8\not\le 0$ $\checkmark$。取 $x=-3$：$9+9-10=8\not\le 0$ $\checkmark$。在 $x=5$ 和 $x=-2$ 处表达式恰好等于 $0$，满足 $\le 0$ $\checkmark$。