分解因式 4x²y + 12xy + 9y。

Step-by-step solution

1. 1

   永远先找公因式。 每一项都恰好含一个 $y$（而系数 $4,12,9$ 除 $1$ 以外没有公因数），所以 $y$ 就是最大公因式：

   $4x^2y+12xy+9y=y\left(4x^2+12x+9\right)$

   跳过这一步、直接去分解那个双变量三项式，会把题目弄得比实际难得多。

2. 2

   检验括号里是不是完全平方。 三项式 $A^2+2AB+B^2$ 要求首尾两项是平方数，中间项是两个平方根之积的两倍。这里 $4x^2=(2x)^2$、$9=3^2$，于是核对中间项：

   $2\cdot(2x)\cdot3=12x\ \checkmark$

   完全吻合。

3. 3

   写成平方形式。

   $4x^2+12x+9=(2x+3)^2$

   两个符号都是正的，所以括号里是和而不是差。（换个角度独立确认：判别式为 $144-4(4)(9)=144-144=0$，正是重根的标志。）

4. 4

   把公因式合回去。

   $4x^2y+12xy+9y=y(2x+3)^2$

5. 5

   从这个形式能读出什么。 由于 $(2x+3)^2\ge0$ 恒成立，整个式子的符号与 $y$ 相同，并且恰好在 $y=0$ 或 $x=-\tfrac32$ 时取零。$x=-\tfrac32$ 处是二重根，意味着（固定 $y>0$ 时）抛物线在那里与坐标轴相切，而不是穿过去。

6. 6

   做数值验证。 在 $[-5,5]$ 上随机取 $50$ 组 $(x,y)$，把原式与 $y(2x+3)^2$ 逐点比较，每一点都吻合到机器精度 ✓。抽查 $x=1,y=2$：$8+24+18=50$，而 $2(5)^2=50$ ✓。