求 (3x² − 4x − 1) 除以 (x − 2) 的商。

Step-by-step solution

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   摆好长除法的算式。 把被除式 $3x^2-4x-1$ 按降幂排列（它本来就是），然后除以 $x-2$。每一轮只拿余下部分的首项去配。

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   第一步除。 $\dfrac{3x^2}{x}=3x$，所以商的第一项是 $3x$。乘回去：$3x(x-2)=3x^2-6x$。相减：$(3x^2-4x)-(3x^2-6x)=2x$，再把 $-1$ 落下来，得到 $2x-1$。

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   第二步除。 $\dfrac{2x}{x}=2$，所以商的下一项是 $2$。乘回去：$2(x-2)=2x-4$。相减：$(2x-1)-(2x-4)=3$。

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   停下来，读出结果。 剩下的 $3$ 次数为 $0$，低于除式的次数 $1$，所以除法到此结束。商是 $3x+2$，余数是 $3$。

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   写成带余数的混合形式。 $\dfrac{3x^2-4x-1}{x-2}=3x+2+\dfrac{3}{x-2}$。因为余数不为零，$x-2$ 并不是被除式的因式。

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   用余数定理和乘回去两种方式确认。 把 $x=2$ 代入被除式得 $3(4)-8-1=3$，与余数吻合。再乘开来看：$(x-2)(3x+2)+3=3x^2+2x-6x-4+3=3x^2-4x-1$，正是原来的被除式。