用综合除法计算 x³ − 2x + 3 除以 x − 2。

Step-by-step solution

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   按位列出系数，缺的那一次要补占位符。 综合除法完全靠系数的位置来运算，所以从 $3$ 次一直到 $0$ 次，每一个次数都得有一个数。把这个三次式写成

   $x^3 + 0x^2 - 2x + 3$

   就得到系数行 $1, \ 0, \ -2, \ 3$。漏掉这个 $0$，后面所有位置都会错位，这是这类题最经典的失误。

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   从一次因式里读出综合除法的除数。 除式形如 $x - r$ 时，用的是 $r$ 本身，所以 $x - 2$ 意味着你用 $2$ 去除（是正的 $2$，因为 $r$ 是 $x - 2 = 0$ 的根）。若除式写成 $x + 2$，那对应的就是 $r = -2$。

3. 3

   执行「乘一次、加一次」的循环。 先把首项系数 $1$ 落下来，然后反复地乘以 $2$ 再加到下一个系数上：

   $1 \ \rightarrow\ 0 + 2(1) = 2 \ \rightarrow\ -2 + 2(2) = 2 \ \rightarrow\ 3 + 2(2) = 7$

   完整的算式表格是

   $\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ & & 2 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}$

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   解读最后一行。 最后一个数是余数；前面几个数是商的系数，次数比被除式低一次。由 $1, 2, 2$ 和余数 $7$ 得

   $\frac{x^3 - 2x + 3}{x - 2} = x^2 + 2x + 2 + \frac{7}{x - 2}$

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   用余数定理验算，再乘回去核对。 余数必须等于 $f(2)$：

   $f(2) = 8 - 4 + 3 = 7 \ \checkmark$

   把商乘回去，也能还原整个恒等式：

   $(x-2)(x^2 + 2x + 2) + 7 = x^3 - 2x - 4 + 7 = x^3 - 2x + 3 \ \checkmark$

   既然余数不是 $0$，$x - 2$ 就不是 $x^3 - 2x + 3$ 的因式。