把 x^3 - 5x^2 + 3x + 2 因式分解，或说明它在有理数范围内不能分解，并求出它的实根。

Step-by-step solution

1. 1

   列出可能的有理根。 由有理根定理，最简形式的有理根 $\tfrac{p}{q}$ 中，$p$ 整除常数项 $2$，$q$ 整除首项系数 $1$。于是 $q=\pm1$，候选只有

   $x=\pm1,\ \pm2$

2. 2

   把每个候选都试一遍。

   $f(1)=1-5+3+2=1,\qquad f(-1)=-1-5-3+2=-7$

   $f(2)=8-20+6+2=-4,\qquad f(-2)=-8-20-6+2=-32$

   没有一个为零，所以没有有理根，也就没有有理系数的一次因式。三次式在 $\mathbb{Q}$ 上能分解的前提是它有有理根（任何分解都必然含一个一次因式），因此这个三次式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

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   别把「不可约」和「没有根」混为一谈。 实系数三次式必定至少有一个实根，因为它从 $-\infty$ 连续地跑到 $+\infty$。「在有理数范围内不能分解」对实根一个字都没说——它只说明这些根里没有一个是分数。

4. 4

   用变号来数实根的个数。 在几个点上求值：$f(-1)=-7$、$f(0)=+2$、$f(1)=+1$、$f(2)=-4$、$f(5)=+17$。在 $-1$ 与 $0$ 之间、$1$ 与 $2$ 之间、$2$ 与 $5$ 之间各变了一次号——一共三次变号，所以三个根全是实数，而且都是无理数。

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   把它们数值定位出来。 在 $[-10,10]$ 上取细网格再二分：

   $x_1\approx-0.3914,\qquad x_2\approx1.2271,\qquad x_3\approx4.1642$

   所以精确到四位小数的实数分解是 $(x+0.3914)(x-1.2271)(x-4.1642)$——在 $\mathbb{R}$ 上完全合法，只是在 $\mathbb{Q}$ 上不行。

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   用韦达定理验算。 三个根之和应为 $-b/a=5$：$-0.3914+1.2271+4.1642=4.9999$ ✓；三个根之积应为 $-d/a=-2$：$(-0.3914)(1.2271)(4.1642)=-2.0000$ ✓。两项都在网格精度内吻合，说明三个实根都找到了，一个也没漏。