一种合金含铜 40%，另一种含铜 55%。把它们熔在一起得到含铜 45% 的第三种合金。若第一种合金重 100 kg，求第三种合金的质量（单位：kg）。

Step-by-step solution

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   先选定那个守恒的量。 百分比是不能直接相加的，但铜的质量可以：第三种合金里的铜，恰好等于第一种里的铜加上第二种里的铜。所以要对铜的质量列平衡式，而不是对百分比列。

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   把未知数设清楚。 设 $m$ 为第二种合金的质量（单位 kg）。那么第三种合金的质量就是 $100 + m$，因为熔炼过程中质量没有损失。把题目读成「$m$ 等于第三种合金的质量」是这里最常见的坑——最后要报的是 $100 + m$，不是 $m$。

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   列出铜的平衡式。

   $0.40(100) + 0.55m = 0.45(100 + m)$

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   解出 $m$。

   $40 + 0.55m = 45 + 0.45m \;\Longrightarrow\; 0.10m = 5 \;\Longrightarrow\; m = 50$

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   回答题目真正问的那个量。 第三种合金等于两种原料之和：

   $100 + 50 = 150 \text{ kg}$

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   验算含铜量。 投入的铜：$0.40(100) + 0.55(50) = 40 + 27.5 = 67.5$ kg。需要的铜：$0.45(150) = 67.5$ kg ✓。还可以用十字交叉法交叉验证：$45\%$ 比 $40\%$ 高 $5$ 个百分点，比 $55\%$ 低 $10$ 个百分点，所以两者质量必须成反比 $10 : 5 = 2 : 1$，即 $100 : 50$ ✓。