化简繁分数 [(6y² + y − 1)/(4y² + 4y + 1)] ÷ [(3y² + 2y − 1)/(2y² − 7y − 4)]。

Step-by-step solution

1. 1

   先把繁分数读成一次除法。 分子与分母本身都是分数的那种分式，含义就是

   $\frac{6y^{2}+y-1}{4y^{2}+4y+1}\div\frac{3y^{2}+2y-1}{2y^{2}-7y-4}$

2. 2

   把四个二次式全部分解。

   $6y^{2}+y-1=(3y-1)(2y+1),\qquad 4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

   $3y^{2}+2y-1=(3y-1)(y+1),\qquad 2y^{2}-7y-4=(2y+1)(y-4)$

   注意 $4y^{2}+4y+1$ 是一个完全平方——看出这一点能省掉一轮十字相乘。

3. 3

   把除数取倒数，再拼起来。

   $\frac{(3y-1)(2y+1)}{(2y+1)^{2}}\cdot\frac{(2y+1)(y-4)}{(3y-1)(y+1)}$

4. 4

   有条理地约分。 把分解形式乘开，分子是 $(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)$，分母是 $(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)$。$(3y-1)$ 和 $(2y+1)^{2}$ 上下都出现，可以完全约掉：

   $\frac{(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)}{(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)}=\frac{y-4}{y+1}$

   $\boxed{\dfrac{y-4}{y+1}}\qquad\left(y\neq -\tfrac12,\ \tfrac13,\ -1,\ 4\right)$

5. 5

   用测试值检验。 取 $y=0$：上面那个分数是 $\tfrac{-1}{1}=-1$，下面那个是 $\tfrac{-1}{-4}=\tfrac14$，所以商是 $-1\div\tfrac14=-4$；而答案给出 $\tfrac{-4}{1}=-4$ ✓。

6. 6

   把被排除的值列清楚。 除了肉眼可见的 $y=-1$，原式还要求 $y\neq-\tfrac12$（两个内层分数的分母）、$y\neq\tfrac13$ 和 $y\neq 4$（保证除数既不为零、也不无定义）。