计算 (9 − a²)/(a² − 8a + 15) ÷ (2a² − 10a)/(a² − 10a + 25) 并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   把每个二次式都分解，注意写反了的平方差。 分子 $9-a^{2}$ 是 $a^{2}-9$ 变号的结果，所以务必把这个负号记下来：

   $9-a^{2}=-(a-3)(a+3)$

   $a^{2}-8a+15=(a-3)(a-5),\qquad 2a^{2}-10a=2a(a-5),\qquad a^{2}-10a+25=(a-5)^{2}$

2. 2

   把除法改写成乘以倒数。

   $\frac{-(a-3)(a+3)}{(a-3)(a-5)}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

3. 3

   先约掉第一对因式。 $(a-3)$ 约掉后剩下

   $\frac{-(a+3)}{a-5}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

4. 4

   再约掉 (a − 5) 这个因式。 分子分母各有两个，可以全部约完：

   $\frac{-(a+3)}{2a}$

   $\boxed{-\dfrac{a+3}{2a}}\qquad(a\neq 0,3,5)$

5. 5

   代一个数验算。 取 $a=1$：原式为 $\dfrac{8}{8}\div\dfrac{-8}{16}=1\div\left(-\tfrac12\right)=-2$，而答案给出 $-\tfrac{4}{2}=-2$ ✓。要是把 $9-a^{2}$ 的负号丢了，结果会变成 $+2$，代值检验立刻就能抓到这个错。