展开并化简 (1 + √2)(√2 − 4)。
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展开并化简
(1+2)(2−4).\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-4\right).(1+2)(2−4).
把四个乘积都乘出来。 对这两个二项式用 FOIL：
1⋅2=2,1⋅(−4)=−4,1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2},\qquad 1\cdot(-4)=-4,1⋅2=2,1⋅(−4)=−4, 2⋅2=2,2⋅(−4)=−42.\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2,\qquad \sqrt{2}\cdot(-4)=-4\sqrt{2}.2⋅2=2,2⋅(−4)=−42.
记住这里最关键的一步化简。 2⋅2=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=22⋅2=2——根号乘它自己，就还原成根号底下的那个数。停在 4\sqrt{4}4 不化，或者更糟，写成 222\sqrt222，是最常见的失手。
把四项加起来。
2−4+2−42.\sqrt{2}-4+2-4\sqrt{2}.2−4+2−42.
有理数归有理数，根式归根式。
(−4+2)⏟有理部分+(2−42)⏟根式部分=−2−32.\underbrace{(-4+2)}_{\text{有理部分}}+\underbrace{\left(\sqrt{2}-4\sqrt{2}\right)}_{\text{根式部分}}=-2-3\sqrt{2}.有理部分(−4+2)+根式部分(2−42)=−2−32.
根式项之所以能像 1x−4x=−3x1x-4x=-3x1x−4x=−3x 那样合并，是因为它们的被开方数相同。
数值验算。 2=1.414214\sqrt2=1.4142142=1.414214，所以原式为 (2.414214)(−2.585786)=−6.242641(2.414214)(-2.585786)=-6.242641(2.414214)(−2.585786)=−6.242641，而 −2−3(1.414214)=−6.242641-2-3(1.414214)=-6.242641−2−3(1.414214)=−6.242641。每一位都对得上。
−2−32-2-3\sqrt{2}−2−32
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