判断 f(x) = x√(x + 9) 是偶函数、奇函数还是两者都不是——分别用代数法、图像法，以及比较若干个 x 处 f(x) 与 f(−x) 的数值法。

Step-by-step solution

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   先回忆两个判别式。 若对定义域内所有 $x$ 都有 $f(-x) = f(x)$，则 $f$ 是偶函数（图像关于 $y$ 轴对称）；若 $f(-x) = -f(x)$，则是奇函数（图像关于原点对称）。两个恒等式都不处处成立，答案就是「都不是」——而大多数函数确实都不是。

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   先看定义域。 根号内必须满足 $x + 9 \ge 0$，所以定义域是 $[-9, \infty)$。这个区间不关于 $0$ 对称：$x = 20$ 在定义域内，而 $x = -20$ 不在。奇函数或偶函数的定义域必须对称，所以光凭这一点就已经能定下答案，根本不用动代数。

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   用代数算出 $f(-x)$。 把每个 $x$ 换成 $-x$：

   $f(-x) = (-x)\sqrt{-x+9} = -x\sqrt{9-x}$

   再和 $f(x) = x\sqrt{x+9}$ 以及 $-f(x) = -x\sqrt{x+9}$ 对照。根号里的东西不一样——是 $\sqrt{9-x}$ 而不是 $\sqrt{x+9}$——所以 $f(-x)$ 跟这两个都不相等。

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   用数值确认。 取两对互为相反数的自变量：

   $x$	$f(x)$
   $1$	$1\sqrt{10} \approx 3.16$
   $-1$	$-1\sqrt{8} \approx -2.83$
   $4$	$4\sqrt{13} \approx 14.42$
   $-4$	$-4\sqrt{5} \approx -8.94$

   若 $f$ 是偶函数，就该有 $f(-1) = f(1)$，可 $-2.83 \neq 3.16$。若 $f$ 是奇函数，就该有 $f(-1) = -f(1) = -3.16$，可 $f(-1) = -2.83$。两条都不成立，$\pm 4$ 这一对也是同样的情况。

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   看图像也是一样的结论。 曲线从 $(-9, 0)$ 出发，恰好在 $x = -6$ 降到最低点，然后向右无限上升；$x = -9$ 左边什么也没有。所以它既不关于 $y$ 轴对称，也不关于原点对称。

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   下结论。 三种方法结论一致：$f(x) = x\sqrt{x+9}$ 既不是偶函数也不是奇函数。差一点就成立的情形很有启发性——$x\sqrt{x^2+9}$ 就是奇函数，因为把 $x$ 平方之后，根号里的式子对变号免疫了。