解方程组 1/x + 1/y = −1 与 3/x − 2/y = 7。

Step-by-step solution

1. 1

   把两个倒数各换成一个新未知数。 直接去分母会产生二次的交叉项 $xy$。改为令

   $a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}$

   方程组就变得完全线性：

   $a + b = -1, \qquad 3a - 2b = 7$

   原方程本身就要求 $x$ 和 $y$ 都非零，所以这样换元不会丢解。

2. 2

   消去一个未知数。 由第一个方程得 $a = -1 - b$，代入第二个方程：

   $3(-1 - b) - 2b = 7 \quad\Longrightarrow\quad -3 - 5b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = -2$

3. 3

   回代求 a。

   $a = -1 - (-2) = 1$

4. 4

   换元还原。 由 $a = \tfrac1x = 1$ 得 $x = 1$；由 $b = \tfrac1y = -2$ 得

   $y = -\frac{1}{2}$

   两者都非零，所以都是可取的解。

5. 5

   代回原方程检验。 $\tfrac{1}{1} + \tfrac{1}{-1/2} = 1 - 2 = -1$，$\tfrac{3}{1} - \tfrac{2}{-1/2} = 3 + 4 = 7$，两式都严格成立。