解方程 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91，给出根式形式的精确解及其小数近似值。

Step-by-step solution

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   先化成标准形式。 求根公式只对 $ax^{2}+bx+c=0$ 适用，所以别的都先别做，先两边减去 $2.91$：

   $0.02x^{2}+0.06x+0.18-2.91=0\;\Longrightarrow\;0.02x^{2}+0.06x-2.73=0.$

   注意常数项变成了负数，这已经说明两根异号了（两根之积 $c/a$ 是负的）。

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   两边乘 100，把小数清掉。 小数系数会让判别式手算起来很痛苦，也容易在四舍五入上出错。每一项都乘 $100$ 是等价变形，不是近似：

   $2x^{2}+6x-273=0.$

   逐项核对：$0.02\times100=2$、$0.06\times100=6$、$-2.73\times100=-273$。三项现在都是整数了。

3. 3

   取 $a=2$、$b=6$、$c=-273$ 代入求根公式。 代入得

   $x=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-273)}}{2(2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36+2184}}{4}=\frac{-6\pm\sqrt{2220}}{4}.$

   符号陷阱在于 $-4ac=-4(2)(-273)=+2184$：里面有两个负号，判别式会变大而不是变小。由于 $2220>0$，方程有两个不相等的实根。

4. 4

   化简根式，再约掉公因数。 从 $2220$ 里提出最大的平方因数：

   $2220=4\cdot 555,\qquad \sqrt{2220}=2\sqrt{555},$

   而 $555=3\cdot 5\cdot 37$ 不含平方因数，所以到这里就化到底了。于是

   $x=\frac{-6\pm 2\sqrt{555}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{555}}{2}.$

   把分式三处的 $2$ 一起约掉，正是把难看的答案变成干净答案的那一步。

5. 5

   取近似值，并把两根都代回原方程检验。 由 $\sqrt{555}\approx 23.5584$，

   $x\approx\frac{-3+23.5584}{2}\approx 10.2792,\qquad x\approx\frac{-3-23.5584}{2}\approx-13.2792.$

   把 $x=10.2792$ 代回：$0.02(105.66)+0.06(10.2792)+0.18=2.1132+0.6168+0.18=2.9100$ ✓。对 $x=-13.2792$ 同样验算也得到 $2.91$ ✓。两根关于顶点 $x=-1.5$ 对称，这也是理应如此的。