解方程 x⁴ − 24x² − 25 = 0。

Step-by-step solution

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   先认出双二次的结构。 式子里只出现 $x$ 的偶次幂，所以换元

   $t=x^{2}\quad(\text{要求 }t\ge 0\text{，因为 }x\text{ 是实数})$

   就能把四次方程变成二次方程。现在就把限制 $t\ge 0$ 记下来，后面舍根这一步才会变得自然而然。

2. 2

   改写并解出关于 t 的二次方程。

   $t^{2}-24t-25=0\quad\Longrightarrow\quad (t-25)(t+1)=0$

   （积为 $-25$、和为 $-24$ 的一对数是 $-25$ 和 $1$。）所以 $t=25$ 或 $t=-1$。

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   舍去不合要求的那个值。 对实数 $x$ 来说 $t=x^{2}$ 不可能为负，所以 $t=-1$ 提供不了任何实数解。

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   把留下的那个值还原回去。

   $x^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5$

   $\boxed{x=5\ \text{或}\ x=-5}$

5. 5

   两个根都验一下。 当 $x=5$：$625-24(25)-25=625-600-25=0$ ✓。当 $x=-5$ 结果相同，因为式中只有偶次幂 ✓。

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   顺便写出完整的因式分解。 $x^{4}-24x^{2}-25=\left(x^{2}-25\right)\left(x^{2}+1\right)=(x-5)(x+5)\left(x^{2}+1\right)$。这个四次方程一共有四个根 —— 实根 $\pm 5$ 和虚根 $\pm i$ —— 如果题目问的是全部根而不只是实根，这一点值得写出来。