求并化简 f(x) = x^2 - 5x + 2 的差商 (f(x + h) - f(x))/h，其中 h 不等于 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $x+h$ 代进整个函数式，而不是只代第一项。 $f$ 里的每一个 $x$ 都要替换，包括 $-5x$ 里的那个：

   $f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+2.$

   把 $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ 展开，再把 $-5$ 分配进去：

   $f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2.$

2. 2

   减去 $f(x)$ 时，负号要分配到括号里的每一项。 这里是符号出错最多的地方，所以先把第二个括号原样写出来，再去括号：

   $f(x+h)-f(x)=\left(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2\right)-\left(x^{2}-5x+2\right).$

   $=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2-x^{2}+5x-2.$

3. 3

   看清哪些项会抵消，以及为什么。 $f(x)$ 中所有不含 $h$ 的项都会消失：$x^{2}-x^{2}=0$，$-5x+5x=0$，$2-2=0$。这总是会发生，也正是它保证了分子一定能被 $h$ 整除：

   $f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.$

4. 4

   把分子提出公因式 $h$，再约掉它。 题目已经给出 $h\neq 0$，所以这次约分是合法的：

   $\frac{2xh+h^{2}-5h}{h}=\frac{h(2x+h-5)}{h}=2x+h-5.$

5. 5

   解释结果并检验。 答案 $2x+h-5$ 就是过点 $(x,f(x))$ 与 $(x+h,f(x+h))$ 的割线的斜率。令 $h\to 0$ 得到 $2x-5$，这正好是 $f'(x)$——是一个很好的印证。取 $x=1.7$、$h=0.03$ 做数值检验：$\frac{f(1.73)-f(1.7)}{0.03}=-1.57$，而 $2(1.7)+0.03-5=-1.57$。