解不等式 (x + 1)(x + 3) ≥ (x − 2)(x − 4)。

Step-by-step solution

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   先展开，再判断这到底是哪一类不等式。 两边各是一个乘积，看着像要列符号表的二次不等式，但不展开就无法确定。也不要图省事直接比较因式——用 $(x+1)\ge(x-2)$ 和 $(x+3)\ge(x-4)$ 来论证是另一回事，而且是错的。

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   两边分别用十字相乘（FOIL）展开。

   $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$

   $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

   于是不等式变成

   $x^2+4x+3\ge x^2-6x+8$

3. 3

   两边同时减去 $x^2$——这是全题的关键一步。 两边的二次项完全相同，直接抵消，不等式就退化成一次的：

   $4x+3\ge -6x+8$

   不用符号表，不用找零点，也不用画抛物线：二次的外表只是个假象。

4. 4

   合并同类项，把 $x$ 解出来。 两边加 $6x$、减 $3$，再除以正数 $10$：

   $10x+3\ge 8\ \Longrightarrow\ 10x\ge 5\ \Longrightarrow\ x\ge\frac12$

   因为 $10>0$，$\ge$ 的方向保持不变；又因为原不等式是非严格的，端点要取到。

5. 5

   写出答案并验一下端点。 解集是 $\left[\tfrac12,\infty\right)$。取 $x=\tfrac12$：左边 $=\tfrac32\cdot\tfrac72=\tfrac{21}{4}$，右边 $=\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac{21}{4}$ —— 两边相等，所以 $\tfrac12$ 属于解集。再取 $x=0$：左边 $=3$，右边 $=8$，而 $3\ge 8$ 不成立，说明小于 $\tfrac12$ 的值确实都不满足。