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Algebra · real student question

把 3x² − 4x + 2 配成完全平方形式，并求它的零点。

Question

把

3x2−4x+23x^{2}-4x+2

写成配方后的形式，指出它的最小值，并求出它的零点。

Step-by-step solution

  1. 动手之前，先看看能不能在实数范围内分解。 取 a=3a=3，b=−4b=-4，c=2c=2：

    Δ=(−4)2−4(3)(2)=16−24=−8\Delta=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8

    因为 Δ<0\Delta<0，这个二次式没有实根，也就无法分解成实系数的一次因式之积。这时配方法才是有产出的做法——它一次就能同时给出顶点和复数根。

  2. 只把首项系数从含 xx 的项里提出来。 把常数 22 留在括号外面，分数会小一些：

    3x2−4x+2=3(x2−43x)+23x^{2}-4x+2=3\left(x^{2}-\tfrac43x\right)+2

    注意括号里是 −4/3-4/3 而不是 −4-4：把一次项系数除以 a=3a=3 这一步，正是最容易在符号和分数上翻车的地方。

  3. 在括号内部配方。 −43-\tfrac43 的一半是 −23-\tfrac23，而 (−23)2=49\left(-\tfrac23\right)^{2}=\tfrac49：

    x2−43x=(x−23)2−49x^{2}-\tfrac43x=\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac49

    代回原式再把 33 分配开——别忘了它同样要乘到那个补偿项上：

    3(x−23)2−3⋅49+2=3(x−23)2−43+2=3(x−23)2+233\left(x-\tfrac23\right)^{2}-3\cdot\tfrac49+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac43+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23

  4. 直接读出顶点与最小值。 因为 3(x−23)2≥03\left(x-\tfrac23\right)^{2}\ge0，且只有 x=23x=\tfrac23 时取到等号，所以最小值是 23\tfrac23，在 x=23x=\tfrac23 处取到。这个恒等式已在 100100 个精确有理点上核对过 ✓；最小值严格为正，这也与 Δ<0\Delta<0 相吻合。

  5. 在复数范围内求零点。 由配方式得 3(x−23)2=−233\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac23，即 (x−23)2=−29\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac29，于是

    x=23±i23=2±i23x=\frac{2}{3}\pm\frac{i\sqrt{2}}{3}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}

    用求根公式结果一致：x=4±−86=4±2i26=2±i23x=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{4\pm2i\sqrt{2}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}。把任意一个根代回原式，残差都小于 10−1210^{-12} ✓。

Answer

3x2−4x+2=3(x−23)2+23,x=2±i233x^{2}-4x+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23,\quad x=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}

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